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Conoscenze matematiche e geometriche degli egizi

Last Update: 4/21/2008 11:26 PM
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4/21/2008 11:26 PM
 
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Generalmente gli studiosi si sono spaccati fra coloro che sono sostenitori della teoria secondo cui tali conoscenze erano molto elevate e coloro che invece tendono a ridimensionare tale patrimonio culturale antico, riconducendolo ad una conoscenza sommaria della matematica e della geometria. Tale sottovalutazione deriverebbe dal fatto che i popoli antichi non avrebbero lasciato testimonianze dirette delle proprie conoscenze con la redazione di veri e propri trattati di tipo scientifico, che invece fu eredità del pensiero greco. Tuttavia è importante accennare brevemente a tali conoscenze che permettono di capire quale fosse lo stato della scienza presso questi popoli e che, per gli Egizi, ci è testimoniato da alcuni papiri scoperti nel XIX secolo; tra questi abbiamo il papiro Rhind, o di Ahmes, il papiro di Kahun, il papiro di Berlino, due tavolette di legno risalenti intorno al 2000 a.C., un rotolo di pelle contenente elenchi di frazioni, e il papiro Goleniscev o di Mosca risalente intorno al 1890 a.C. In questi papiri sono stati riportati, dagli scribi che li hanno elaborati, alcuni problemi di matematica e geometria che sono stati risolti nell’epoca di redazione del papiro utilizzando delle formule che solo 1500 anni dopo sono state formalmente vergate sulla carta dai matematici greci.
Vediamo brevemente alcuni esempi tratti dai papiri ritrovati.

PAPIRO RHIND




Tra i più antichi documenti matematici ritrovati dagli archeologi, il papiro Rhind è un rotolo di 5 metri di lunghezza per 30 cm di larghezza (custodito dal British Museum); prende il nome dall’antiquario scozzese (Henry Rhind) che lo acquistò nel 1858 a Luxor.
Il papiro risale al Regno medio ed è datato tra il 2000 e il 1650 a.C., elaborato in ieratico che era un linguaggio più semplice rispetto al geroglifico e attribuito allo scriba di nome Ahmes.
Nel papiro, tra i vari problemi indicati, compare la risoluzione del problema del computo dell’area del cerchio.
Secondo lo scriba, l’area di un campo di forma circolare con un diametro di 9 unità era uguale all’area di un quadrato con un lato di 8 unità. Il problema viene posto in questi termini: "Un campo rotondo di 9 khet di diametro. Qual è la sua area? Togli 1/9 dal diametro, 1; il rimanente è 8. Moltiplica 8 per 8: fa 64. Quindi esso contiene 64 sesat".
In questo papiro compare quindi una formula approssimata per il calcolo dell’area di un cerchio di diametro x; la formula usata è (x - 1/9 x)2.
Gli studi condotti dagli storici della matematica su questa formula rispetto a quella moderna, che è A = πr2 hanno permesso di mettere in luce che il valore attribuito in questo caso a π è pari a 3+1/6 = 3,16…, approssimazione abbastanza buona del valore effettivo del π pari a 3,14159... comunque tale da essere notata dagli studiosi, anche se permane il dubbio su quella che era la conoscenza effettiva del rapporto circonferenza-diametro del cerchio.
Nello stesso papiro compare anche un insieme di regole relative alle frazioni che riguarda la rappresentazione delle parti decimali, fornendo per ogni numero intero dispari compreso fra 3 e 101 la scomposizione in frazioni unitarie della frazione di 2/n.
Ancora compaiono problemi relativi alle quattro operazioni elementari, in cui viene esposto il metodo di calcolo. Per effettuare la moltiplicazione gli egizi addizionavano il moltiplicando a se stesso e duplicavano il risultato ottenuto fino a raggiungere la risoluzione del problema posto.
Nel papiro Rhind sono presenti anche problemi algebrici risolvibili con equazioni lineari del tipo x+ax=b e x+ax+bx=c, noti a, b e c con incognita x, nonché problemi geometrici relativi al calcolo delle aree di poligoni, come il triangolo isoscele, oltre al famoso problema 50 esposto più sopra.
In particolare l’area del triangolo isoscele viene calcolata con uno stratagemma molto intelligente, scomponendo il triangolo in due triangoli rettangoli e ruotandone uno di fianco all’altro, in modo tale da formare un rettangolo. Si trova così la formula di calcolo dell’area del triangolo moltiplicando l’altezza del triangolo per la metà della base (base per altezza diviso 2).

PAPIRO DI MOSCA



Detto anche di Goleniscev, il papiro di Mosca misura 5,5 metri di lunghezza per 7,5 cm di larghezza. Fu elaborato da uno scriba della XII dinastia (intorno al 1890 a.C.) rimasto ignoto.
In questo scritto vi sono 25 esempi di calcoli matematici e problemi legati alla vita pratica di cui due hanno destato l’interesse degli studiosi: i problemi 10 e 14.
Il "problema 14" presenta una figura che è simile ad un tronco di piramide quadrata, anche se può essere scambiata per un trapezio isoscele. Le descrizioni che accompagnano la figura indicano che il problema consiste nel calcolare il volume del tronco di piramide a base quadrata in cui l’altezza è pari a 6 unità, con i lati della base maggiore e minore lunghi rispettivamente 4 e 2 unità.
Lo scriba illustra in che modo risolve il problema adottando la [22+42+2(4)](1/3)(6) e conclude facendo osservare che il risultato finale è pari a 56.
La formula adottata equivale alla formula moderna V=h(a2+ab+b2)/3 dove h è l’altezza, a e b sono i lati delle basi quadrate. Questa formula non viene esplicitamente scritta ma viene adottata e utilizzata in modo equivalente.
Gli storici della matematica non sono riusciti del tutto a comprendere in che modo gli egizi abbiano potuto arrivare a questo metodo di calcolo. Si ipotizza che abbiano scomposto il tronco di piramide in parallelepipedi, prismi e piramidi, sostituendo successivamente prismi e piramidi con blocchi rettangolari di uguale dimensione, ma resta il dubbio su questa ipotesi.

Gli esempi riportati più sopra, contenuti nei papiri ritrovati nel XIX° secolo, hanno dimostrato che in epoca abbastanza remota, almeno intorno al 2000-1800 a.C., gli egizi disponevano di conoscenze matematiche e geometriche che possono essere definite, con cautela, di una certa rilevanza.
Poiché gli edifici geometrici come le Piramidi di Giza risalgono, secondo gli studiosi, intorno al 2500 a.C., quindi circa 500-700 anni prima rispetto ai papiri descritti, non è errato pensare che gli egizi avessero conoscenze simili, riguardo i principi della matematica e della geometria anche nell’epoca delle Piramidi.
Con questo si vuole dire che lo sviluppo della matematica e della geometria applicati all’architettura megalitica non è facile da spiegare in modo razionale nell’evoluzione della storia della civiltà del Nilo, poiché la presunta apparizione dello Stato egizio, e quindi l’orologio della storia, inizia intorno al 3100 a.C. con l’unificazione dello Stato Faraonico, ma da quell’epoca al 2500 a.C. passano solo 600 anni.
In questo arco di tempo la civiltà egizia evolve in modo tale che nel corso di pochi secoli si ha quel processo di sviluppo tecnologico, e quindi anche di tipo scientifico-matematico, che permette di passare dalle forme rozze e poco curate delle mastabe, alle piramidi ancora "imperfette" a gradoni o curve, fino alle piramidi a facce lisce, vero gioiello dell’architettura di tutti i tempi.
Secondo gli studiosi questo percorso è lineare perché può essere paragonato allo stesso periodo di tempo che intercorre dal 1400 europeo, in cui lo stato della tecnica era ancora preindustriale, nonostante venissero realizzate opere architettoniche di grande valore, fino all’epoca della rivoluzione industriale e scientifica del '600 e del '700 che hanno portato l’umanità al progresso moderno.
Tuttavia queste argomentazioni comportano un notevole imbarazzo agli studiosi che vogliano affrontare la questione dello sviluppo tecnologico e della scienza nel mondo antico con un minimo di ragionevolezza, poiché la questione è molto più complessa.
Infatti la nascita della civiltà egizia avviene in un contesto storico che vede la culla della civiltà situarsi nell’Africa e nel Vicino Oriente, mentre il resto del nostro mondo era ancora fermo alla preistoria con l’Età del Rame.
In questo contesto storico-sociale il progresso delle scienze egizie (come matematica, geometria, astronomia, architettura, medicina, chimica) avviene in un arco di tempo tale per cui nel volgere di alcuni secoli si giunge all’Età delle piramidi, con conoscenze così avanzate da permettere agli scribi egizi di formulare la risoluzione di problemi di una certa complessità, impiegando formule equivalenti a quelle vergate sulla carta dai Greci circa duemila anni dopo.
Come dire che alcuni matematici della prima epoca del cristianesimo facessero uso del calcolo infinitesimale su cui lavorarono studiosi come Leibnitz e Laplace solo nel XVIII secolo.
Questa evoluzione delle conoscenze matematiche e geometriche degli egizi è avvolta nel più totale mistero poiché le scoperte fatte non gettano luce a sufficienza per avere un quadro esauriente.

Il paragone con la storia della matematica occidentale nel medioevo non sembra però attendibile poiché l’evoluzione temporale della matematica moderna avvenne in modo più lento. Lo stato della scienza matematica era, per così dire, fermo dall’epoca del crollo dell’Impero Romano e nello sviluppo della matematica in Occidente giocò un ruolo fondamentale Leonardo Pisano Fibonacci con i suoi studi che riprendono la tradizione culturale islamica.
Proprio l’Islam fece da "cerniera" tra le conoscenze matematiche, geometriche e astronomiche, ferme dall’epoca greca e l’epoca moderna, anche attraverso l’introduzione della notazione numerale indiana, giocando un ruolo di grande importanza per lo sviluppo della nostra civiltà moderna.
Se guardiamo attentamente allo sviluppo dello stato della scienza nell’Europa del primo Cristianesimo fino all’epoca della rivoluzione scientifica galileiana, occorrono qualcosa come 1600 anni per giungere gradualmente a questo grado di sviluppo, mentre per la civiltà egizia sembra che il passaggio all’epoca delle piramidi sia, dall’inizio della sua storia, meno della metà di questo percorso temporale.
Quanto detto può servire a una riflessione e, comunque la si pensi, è una delle chiavi di volta della storia dell’Egitto.

Sembra che nella storia millenaria della civiltà egizia si possano incuneare una serie di circostanze di carattere storico, scientifico e tecnologico che tendono a complicare il quadro, non permettendo agli studiosi di avere le idee chiare.
È importante, infatti, mettere in luce il fatto che, nonostante i papiri attestino tali tipi di conoscenze già consolidate nel 1800 o 1600 a.C., lo stato della tecnica costruttiva e architettonica degli egizi dopo l’epoca delle piramidi, dal 2600 a.C. al 2300 a.C. circa, subisce una radicale trasformazione in senso regressivo; un vero e proprio tracollo tecnologico che comporta come conseguenza quella della costruzione di monumenti con caratteristiche ingegneristiche molto più antiquate rispetto ai giganti di Giza.
Molte delle piramidi più recenti sono crollate e altre furono danneggiate e non hanno resistito all’usura del tempo.
Quei papiri stanno così a dimostrare che lo stato delle conoscenze scientifiche degli egizi a quell’epoca è quello che appare da tali scritti, ma tale elemento non va di pari passo con l’esperienza dell’architettura megalitica, almeno da una certa epoca in avanti.
Ciò che impressiona di più delle conoscenze matematiche e geometriche espresse nei papiri che ci sono pervenuti, è che essi sono riusciti ad impiegare delle formule di calcolo che sono state formalizzate dai matematici greci sulla carta solo quasi 1000-1500 anni dopo.

Su questo punto è importante capire che, secondo gli studiosi, la più importante differenza che si può mettere in luce tra la matematica degli Egizi e dei Babilonesi e quella greca è legata al fatto che la matematica greca si assunse il compito di fornire una vera e propria sistemazione organica della disciplina con la realizzazione di veri e propri trattati che racchiusero, tra il 600 e il 100 a.C., tutti gli studi e le ricerche dell’epoca, inaugurando la nascita della scienza matematica e geometrica. Per contro, ciò che viene "rimproverato" ai matematici egizi e babilonesi è di aver realizzato una matematica e geometria essenzialmente di tipo "pratico" volta alla risoluzione di singoli problemi di natura agraria o economica, o tecnico-geometrica o architettonica, senza raggiungere una vera e propria formalizzazione della materia che avviene solo in epoca greca.
Ciò che gli studiosi moderni non chiariscono a sufficienza è la profondità delle conoscenze, tali da permettere agli egizi di usufruire delle formule di calcolo circa 1500 anni prima che venissero "riscoperte" dai Greci.
Del periodo compreso fra il 3000 e il 2500 a.C., sembra quasi che della presenza di papiri che attestino le conoscenze egizie non ve ne sia bisogno poiché gli stessi monumenti megalitici stanno con la loro presenza a dimostrare l’alto livello raggiunto dal popolo del Nilo.

Permangono comunque dubbi sulla conoscenza effettiva del π da parte degli Egizi.
Occorre infatti riflettere sul fatto che dal papiro Rhind deriva un π è pari a 3,16… mentre le misurazioni condotte sulla piramide di Cheope dimostrerebbero che all’origine doveva presentare un’altezza pari a 146,73 metri, con un perimetro alla base di circa 921,45 metri con un rapporto esatto di 2π.
Sembrerebbe strano che nel 2500 a.C. i costruttori avessero usato il valore esatto del π per poi far si che nel corso dei secoli successivi si usasse un valore approssimato, a meno che tale approssimazione non fosse indispensabile ai fini del corretto computo delle formule di calcolo della superficie del cerchio.
Si può ipotizzare anche un effettivo regresso, non solo della tecnologia costruttiva degli Egizi dopo la IV dinastia (2500 a.C.), ma anche delle conoscenze scientifiche, che potrebbe essersi verificato a causa dei rivolgimenti sociali che lo Stato Egizio subì in epoca posteriore al 2000 a.C.
Tuttavia nei papiri ritrovati finora sembra evidente che gli Egizi avessero dimestichezza con metodi alternativi, rispetto a quelli che noi conosciamo oggi, per la risoluzione di problemi riguardanti la geometria piana, la matematica e l’algebra (con particolare riguardo alla conoscenza dei metodi di scomposizione dei numeri naturali in frazioni), al punto da poter usufruire di metodi estremamente intelligenti per la scomposizione di figure piane, che si rendeva utile al fine della risoluzione di problemi geometrici e matematici di relativa complessità.
Al di là dei dubbi che permangono, lo sviluppo della scienza umana è molto più antico di quanto si potrebbe pensare...

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[Edited by (richard) 4/21/2008 11:27 PM]
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