brevissima riflessione sulla quadratura del cerchio.

a voce abbiamo risolto un po' il problema, comunque rimangono discussioni molto interessanti che rendono la matematica materia viva e pulsante.

ma soprattutto... l'integrale non è un'area. tanto più che se calcolassimo l'integrale del cerchio con centro l'origine ottereemo un valore uguale a 0.
in quel caso che hai esposto l'integrale non rappresenta un'area.

mmh, in effetti potrebbe essere vero. in ogni caso non riguarda il cerchio. ne parliako stasera puiù approfonditamente.

---

Scritto da: Lorentzgang 04/01/2006 14.04
non è corretto nemmeno dire che l'approssimazione sia "trascurabile", non c'è approssimazione. il valore di un limite è un valore esatto.

---

detta così forse è meglio e più corretto: studiare la curva e la retta è uguale purchè si considerino incrementi dell'incognita molti piccoli, in pratica usando il limite per l'incremento h che tende a 0. Però io intendo che una retta e una curva non sono la stessa cosa e poi io ho sempre avuto questo dubbio intorno ai limiti, se stasera ci vediamo te lo spiego meglio, intanto accenno.
Se considero l'area sottesa da una curva asintotica all'asse x, ad esempio considera una iperbole nella forma y=1/x e cerco di calcolare l'area della curva da x=1 a infinito questo è un valore preciso se non sbaglio, provando a calcolare il limite dell'integrale dovrebbe venire un valore preciso, non ho fatto il calcolo a mano ma vado a memoria.
Io invece dico che se la curva è asintotica essa non toccherà mai l'asse x e perciò non è possibile dare un valore preciso di area ma solo una approsimazione che è sì unica per il teorema di unicità del limite ma rimane una approsimazione perché andando all'infinito l'area dovrebbe aumentare sempre, di pochissimo ma aumenterebbe, per questo spesso parlo di approsimazione trascurabile perché a volte lo è, e sfido chiunque a dire che una retta e una curva siano la stesa cosa e a dire che se una curva è asintotica toccherà l'asse. Non dirmi che se colcoloil limite per x che tende a infinito trovo un valore preciso perché so che risponderebbe alla mia domanda ma per me non è sufficiente, per quello che ho studiato lo sarebbe però si tratta di una astrazione che da accettare non è facile quanto e semplice da capirla. Hai capito il mio discorso? se no stasera te lo spiego meglio di certo.

[Modificato da Pode61 04/01/2006 20.04]

forno perdonalo perchè al classico non insegnano la chirurgia matematica stile hubertus.

non è corretto nemmeno dire che l'approssimazione sia "trascurabile", non c'è approssimazione. il valore di un limite è un valore esatto.

però l'approsimazione dell'integrale è tanto piccola che è trascurabile e fornisce un'area esatta, quindi comunque si può calcolare l'area di un cerchio senza il pi greco,appunto perché l'integraleè un limite, so che la definizione non era corretta però era importante cogliere l'idea del poligono con infiniti lati, pensiero non scontato perché si deve immaginare un lato che misura un punto.

---

Scritto da: Pode61 03/01/2006 18.38
Non ritengo che l'uso del compasso per tracciare delle circonferenze sia un uso improprio perché la circonferenza è appunto un luogo geometrico di tutti i punti e soli che hanno la stessa distanza da un punto detto centro.
Si parla proprio di distanza quindi tracciare una circonferenza significa unire tutti quei punti con dei segmentini tanto piccoli da essere assimilabili a punti (è il concetto di differenziale, se riesco a considerare dei segmentini tanto piccoli da ridurre l'errore tra il fare lo studio di una curva e di una retta allora ho trovato il differenziale, molto all'acqia di rose ma il concetto è questo.)
Quindi usare il compasso o la mano con la matita o quello strumento per traccaire le circonferenze che ci ha fatto comprare la Sigurtà, non l'ho mai usato ma l'ho dovuto comprare non mi sembra affatto che costituisca un problema.
Più controvera è la questione sulla quadratura del cerchio, infatti io studiai che la quadratura del cerchio è impossibile ma il concetto di differenziale sconvolse tutto il mio sapere e introdusse nuovi concetti: non credo che si possa esprimere l'area di un cerchio senza il pi greco a meno di una approsimazione, infatti sempre studiando il differenziale ci fu spiegato che Archimede per primo pensò che ilcerchio poteva essere considerato come un poligono con infiniti lati e dunque l'area di un poligono, almeno quella è definita con precisione. (però faccio notare che nella formula 180x(n-2), se non sbaglio si legge un numero di gradi che in modo inquietante assomiglia al pi greco.)[... EDIT: Questa è una cagata ma nessuna se ne è accorto perché questa è la formula per determinare gli angoli interni]
Io credo che in definitiva l'area di un cerchio possa essere definita con dei numeri finiti non irrazionali però questo va a discapito di una precisione assoluta, precisione che comunque non è raggiungibilemai come insegna la fisica, per cui direi di accontentarsi degli integrali che ci danno l'area di una curva analizzando tante piccole rette.
Alla fine gli integrali sono alla base anche di questa discussione, GRANDI INTEGRALI!
Poi Forno sicuramente ho dimenticato di rispondere a qualcosa, chiedi e tenterò di rispondere, intanto grazie di avermi fatto pensare allamatematica, argomento che cominciava a mancarmi un po'.

[Modificato da Pode61 04/01/2006 11.03]

---

questo post mi era del tutto sfuggito.
specifico tre cose:
-quadrare il cerchio significa trovarne un'area esatta, non un'approssimazione. la fisica qui non c'entra nulla perchè non aprliamo di cerchi che esistono, ma di cerchi che disegnamo su di un immaginario spazio euclideo ideale.
-il compasso all'interno del nostro paradigma di partenza è usato per riportare distanze al fine di costruire segmenti.
-l'integrale non è correttamente definito come area di rettangoli infinitesimi, perchè un rettangolo infinitesimo non ha area. è propriamente il limite per n che tende all'inifito di n suddivisioni della curva in piccoli rettangoli.

quello che voglio dire è che è impossibile esprimere esattametne l'area di un cerchio restando all'interno del nostrao paradigma con riga e compasso, ovvero tentando di quadrarlo, perchè il cerchio èp al di fuori di questo paradigma.
in un altro "contesto", se volete, il compasso si può usare col fune di traccirre cerchi, figura in questo caso contemplata e risolvibile con gli integrali.

[Modificato da Lorentzgang 04/01/2006 14.06]

visto, questo dimostra che il problema di calcora l'area del cerchio, quadrandolo, deriva solo da una sua scorretta interpretazione.
ovvero: uscendo dal paradigma delle costruzioni con riga e compasso, costruendo cioè una figura col compasso anzichè con la riga, non è possibile risolvere la figura prodotta restando all'interno del paradigma. non è possibile quadrare il cerchio perchè esso è il prodotto di uno scorretto uso degli strumenti per costruire un quadrato.
potrebbe anche essere una dimostrazione alternativa a quella di liendmann... ma, non credo...

io intendo una circonferenza con centro nell'origine ha le due variabili a grado secondo. Comunque sì, anch'io avevo pensato alla divisione in due semicirconferenze. Dunque si può calcolare l'area di un cerchio senza usare pi greco!

m auna circonferenza non è in due variabili... la si esprime cone due semicirconferenze. ed è a posto.

---

Scritto da: Lorentzgang 03/01/2006 16.21
ho un interrogativo.
al fine che tutta la mia riflessione abbia un senso superiore a quello del semplice averla fatta, vi chiedo, che voi sappiate, è possibile esprimere l'area di un cerchio senza il pigreco?


allora, per stimolare una vostra risposta vi faccio capire l'importanza di questo interrogativo.
in pratica, se fosse possibile esprimere l'area del cerchio senza il pigreco, ovvero senza pretendere di quadrarlo, effettivamente il problema di trovare la sua area nasce dal fatto di pretendere di risolverlo uscendo dal paradigma impostato dall'utilizzo di riga e compasso. e NON è un problema intrinseco della realtà euclidea.

[Modificato da Lorentzgang 03/01/2006 16.35]

---

per accorciare, sì con gli integrali si può esprimere l'area di una circonferenza senza utilizzare il pi greco, però non assicuro perché non ho mai fatto l'integrale di una funzione in due variabili, già sono complicate le derivate parziali, i discorsi di differenziale comunque non sono molto diversi per esempio quando si sta cercando il potenziale U di un campo di fa una operazione di integrazione parziale, ma non ho mai fatto la teoria che sta dietro agli esercizi.

Non ritengo che l'uso del compasso per tracciare delle circonferenze sia un uso improprio perché la circonferenza è appunto un luogo geometrico di tutti i punti e soli che hanno la stessa distanza da un punto detto centro.
Si parla proprio di distanza quindi tracciare una circonferenza significa unire tutti quei punti con dei segmentini tanto piccoli da essere assimilabili a punti (è il concetto di differenziale, se riesco a considerare dei segmentini tanto piccoli da ridurre l'errore tra il fare lo studio di una curva e di una retta allora ho trovato il differenziale, molto all'acqia di rose ma il concetto è questo.)
Quindi usare il compasso o la mano con la matita o quello strumento per traccaire le circonferenze che ci ha fatto comprare la Sigurtà, non l'ho mai usato ma l'ho dovuto comprare non mi sembra affatto che costituisca un problema.
Più controvera è la questione sulla quadratura del cerchio, infatti io studiai che la quadratura del cerchio è impossibile ma il concetto di differenziale sconvolse tutto il mio sapere e introdusse nuovi concetti: non credo che si possa esprimere l'area di un cerchio senza il pi greco a meno di una approsimazione, infatti sempre studiando il differenziale ci fu spiegato che Archimede per primo pensò che ilcerchio poteva essere considerato come un poligono con infiniti lati e dunque l'area di un poligono, almeno quella è definita con precisione. (però faccio notare che nella formula 180x(n-2), se non sbaglio si legge un numero di gradi che in modo inquietante assomiglia al pi greco.)[... EDIT: Questa è una cagata ma nessuna se ne è accorto perché questa è la formula per determinare gli angoli interni]
Io credo che in definitiva l'area di un cerchio possa essere definita con dei numeri finiti non irrazionali però questo va a discapito di una precisione assoluta, precisione che comunque non è raggiungibilemai come insegna la fisica, per cui direi di accontentarsi degli integrali che ci danno l'area di una curva analizzando tante piccole rette.
Alla fine gli integrali sono alla base anche di questa discussione, GRANDI INTEGRALI!
Poi Forno sicuramente ho dimenticato di rispondere a qualcosa, chiedi e tenterò di rispondere, intanto grazie di avermi fatto pensare allamatematica, argomento che cominciava a mancarmi un po'.

[Modificato da Pode61 04/01/2006 11.03]

ho un interrogativo.
al fine che tutta la mia riflessione abbia un senso superiore a quello del semplice averla fatta, vi chiedo, che voi sappiate, è possibile esprimere l'area di un cerchio senza il pigreco?


allora, per stimolare una vostra risposta vi faccio capire l'importanza di questo interrogativo.
in pratica, se fosse possibile esprimere l'area del cerchio senza il pigreco, ovvero senza pretendere di quadrarlo, effettivamente il problema di trovare la sua area nasce dal fatto di pretendere di risolverlo uscendo dal paradigma impostato dall'utilizzo di riga e compasso. e NON è un problema intrinseco della realtà euclidea.

[Modificato da Lorentzgang 03/01/2006 16.35]

per l'una, cioè, serve per riportare distanze al fine di costruire segmenti. nessuno vieta di usarlo come si userbbe un cd lanciandolo per aria. :tafazi: