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Calcolo tangente

Ultimo Aggiornamento: 05/03/2022 10:52
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27/02/2022 15:52

Ciao a tutti, la mia è più che altro una curiosità e non so se sono nel posto giusto per soddisfarla.
Ho l’esigenza di fare dei rilievi topografici tramite calcoli trigonometrici, ho fatto un programmino che allego.
Sapendo il valore d’angolo e quello A-B, devo trovare il valore di A-C (tangente), applicando la funzione TAN(RADIANTI())
So che la funzione prima trasforma i gradi in radianti con questa formula: angolo x 3,14 /180 e poi fa un secondo calcolo e trova la tangente. Qualcuno mi sa spiegare che operazioni fa il secondo calcolo? E se si può fare a mano, cioè con calcolatrice non scientifica?
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27/02/2022 20:20

Ciao
Premesso che le mie conoscenze geometriche si fermano alle nozioni scolastiche, credo che il tuo quesito sia più adatto ad un Forum matematico piuttosto che Excel.
Noto dal file allegato che hai le misure dei due cateti di un triangolo rettangolo.
Le mie reminiscenze scolastiche mi suggeriscono la seguente formula (di Excel)

=RADQ(20^2+22,21^2)

cioè il teorema di Pitagora (la radice quadrata della somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa).

Mi perdonerai se ho commesso qualche errore.

Ciao,
Mario
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27/02/2022 23:22

Ciao

anche io non ho nessuna dimestichezza con trigonomeria e topografia, e mi dispiace.
posso solo dire che il valore 20 (AB) puo' essere immaginato come la distanza che separa un osservatore dall'oggetto AC visto con un angolo di visuale di 48 gradi, e in questo caso l'oggetto A misura 22,21.
Conoscendo le formule di trasformazione fra AB-angolo-AC si possono ricavare tutti e 3 i valori, noti ogni volta gli altri 2.
Altro non chiedermi perchè non potrei sostenere un dibattito in proposito, ho solo elucubrato.

LEO

LEO
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28/02/2022 14:51

Il problema è che conosco il valore di 1 solo cateto e dell'angolo, quindi no posso applicare il teorema di Pitagora.
Chiederò ad un forum di matematica
Grazie lo stesso
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28/02/2022 15:20

ciao, certo un forum di matematica risponderebbe in modo più preciso, completo e "dimostrativo", ma io da ieri a oggi ho letto qualcosa su google, e direi proprio che 1 cateto ed un angolo sono appunto sufficienti a ricavare altri elementi, per es. da Google

"Come trovare un cateto avendo un cateto e l'angolo ?
Dati l'altro cateto e un angolo acuto:
La misura di un cateto equivale a quella dell'altro cateto moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al primo, o per la cotangente dell'angolo adiacente."

Quindi 1 cateto e l'angolo sono sufficienti, al punto che si riesce ad applicare Pitagora, e quindi il suggerimento di Marius44

In realtà non avevi detto con chiarezza totale quali elementi hai, e che cosa vuoi ottenere

LEO

LEO
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28/02/2022 19:16

OK grazie, ci provo 😊
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28/02/2022 20:01

guarda, sto imparando in real-time

dal tuo esempio:
seno in radianti di 48° = 0,7431448
coseno in radianti di 48° = 0,6691306
rapporto = 1,11
essendo la tangente il rapporto fra seno e coseno, si ha che
la tangente in rad di 48° = 1,11

per cui nel tuo esempio se AB = 20, BC = 22,21, e tutti i triangoli (per forza) simili avranno i cateti in quel rapporto
ma AB = 20 lo hai imposto tu, per cui non devi chiederti che operazione fa il programma, perchè lo hai scritto tu.
Se infatti al posto di 20 metti 1 la tangente sarà quella (chiamiamola base) = 1,11
AB = 20, e angolo = 48 ° sono i 2 termini necessari e sufficienti, BC è l'incognita secondo cateto.
Se poi i dati sono altri e ti serve altro è altro discorso, ma con quei 2 parametri si ottengono diverse cose, giocando con le formule e le loro reciproche.

LEO
[Modificato da L2018 28/02/2022 20:03]

LEO
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01/03/2022 12:06

Ciao Leo, scusa ma non mi sono chiare le tue deduzioni.
Come sei arrivato a trovare seno e coseno senza adoperare le funzioni di excel?
Nell’esempio che avevo posto all’inizio ho due valori: angolo e cateto AB
Ti rilancio il quesito: se abbiamo angolo di 38° e AB = 15 come calcoli seno e coseno senza adoperare tali funzioni? Certo poi è facile trovare la tangente (che alla fine è il dato fondamentale per il calcolo trigonometrico) mettendo in rapporto seno e coseno.

Paolo
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01/03/2022 16:52

Salve a tutti

Ragazzi (io posso permettermelo 🤣😂😁 ), mi avete fatto fare un balzo indietro di parecchi lustri.

@DeMartin.Paolo
ho trovato in questo sito http://2.228.124.220/html/trigonometria/Ilezione.htm
quanto ti interessa. Ti allego il file sul quale ho riproposto l'esempio da loro citato e provato a dare soluzione al tuo quesito.
Dal risultato mi sembra che la tua seconda misura sia errata.

Ciao,
Mario
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01/03/2022 19:38

Re:
De Martin.PAOLO, 01/03/2022 12:06:

Ciao Leo, scusa ma non mi sono chiare le tue deduzioni.
Come sei arrivato a trovare seno e coseno senza adoperare le funzioni di excel?
Nell’esempio che avevo posto all’inizio ho due valori: angolo e cateto AB
Ti rilancio il quesito: se abbiamo angolo di 38° e AB = 15 come calcoli seno e coseno senza adoperare tali funzioni? Certo poi è facile trovare la tangente (che alla fine è il dato fondamentale per il calcolo trigonometrico) mettendo in rapporto seno e coseno.

Paolo



Ciao, come sarebbe a dire senza Excel ? ho usato proprio le normali funzioni di excel, e sono partito proprio dalla tua prima espressione, ho fatto qualche ricerca rapida a scopo infarinatura.
Ora, ripremesso che non sono un vero matematico, non ho gli strumenti e la dimestichezza con la trigonometria ma imparo tutto come fanno le scimmie, ripeto che ho fatto appena in tempo a capire qualche concetto di base, e soprattutto che per avere i vari elementi di un rettangolo basta un angolo e un cateto, e ti riallego il tuo file iniziale con qualche integrazione.
ti avevo chiesto di ripetere quali sono i tuoi dati e che cosa esattamente vuoi ottenere.
in questo tuo ultimo esempio, a parte i valori, che cosa è uguale a 15 ? se 15 è un cateto, l'altro cateto è 11,72

la cosa che ti riguarda piu da vicino è che dato un angolo e un'altra misura, questa misura o è un cateto, o è un altro cateto, o è un seno, o è un coseno, e in tutti questi casi si riesce a giostrare.

la mia difficoltà è dovuta al fatto che non so farti dimostrazioni matematiche, per questo era meglio un forum dedicato, ma nel file allegato ti ho messo una figura che dovrebbe essere abbastanza esplicativa dei rapporti che legano il seno, coseno, tangente, ecc.
Per fortuna è intervenuto Marius che ci invia una lezione illustrativa di tali rapporti.

LEO

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01/03/2022 21:49

Scusate
per onestà vorrei dire che arrivati al 10° post, se non ho saputo instradare Paolo alla soluzione, è meglio che io abbandoni questa discussione, infatti avevo premesso che non sono ferrato in trigonometria.

inoltre vorrei dire a Marius che nel suo file alla cella K10 il cateto misura 20, ma in K11 l'ipotenusa misura 17,32: possibile ?
eppure quei dati si trovano su un sito.
ed anche, piu giù, se AB = 20, e in K17 l'altro cateto misura 26,91, come è possibile che Pitagora dia ipotenusa 33,53 mentre in K18 appare 48, 10 ?

E' meglio che io mi ripassi un po' la materia

LEO

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01/03/2022 23:03

Salve a tutti
Sì, è passato troppo dai tempo dai banchi di scuola e, fra l'altro, non sono molto ferrata in materia trigonometrica (ho fatto più matematica finanziaria).
Io abbandono. Ciao,
Mario
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01/03/2022 23:16

eppure penso che la trigonometria non sia affatto difficile
secondo me il problema è che in un foglio Excel dovremmo avere già pronte le formule in formato testo, basterebbe trasportarcele, ed applicarle.
Per la risoluzione dei triangoli rettangoli sono in numero limitato, basta automatizzarle in uno specchietto, ma chi ne ha voglia ?
Provo a farlo, ma con calma e in silenzio


LEO

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02/03/2022 07:22

Ciao a tutti, la prossima settimana incontro un mio amico laureato in matematica, mi ha promesso che mi spiega la faccenda, poi vi so dire almeno per soddisfare la curiosità.
Ricordo il quesito di partenza: come fanno le funzioni di excel a calcolare seno, coseno, tangante solo partendo da un angolo, senza il valore di cateti e ipotenusa? La stessa cosa dicasi per le calcolatrici scientifiche; scrivi i gradi di un angolo, premi il pulsante e arriva il risultato.
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03/03/2022 15:01

Calcolo Tangente
Ricordo il quesito di partenza: come fanno le funzioni di excel a calcolare seno, coseno, tangente solo partendo da un angolo, senza il valore di cateti e ipotenusa? La stessa cosa dicasi per le calcolatrici scientifiche; scrivi i gradi di un angolo, premi il pulsante e arriva il risultato.

Ora che il quesito (per me) è più chiaro, posso tentare una risposta più adatta
ma a monte di questo che cosa è il seno ? e il coseno ?
Prendiamo una circonferenza goniometrica di centro O e diametro orizzontale passante per O (per es. D-O-R).
Nel quadrante superiore destro, dal centro O tracciamo un raggio O-P che intersecherà la circonferenza nel punto P e formerà col diametro un angolo Alfa in O.
dal punto P tracciamo un segmento verticale che intersecherà il diametro in modo ortogonale nel punto S

Il seno di tale angolo Alfa è l'ordinata del punto P associato all'angolo Alfa, e cioè il segmento P-S
Il coseno di tale angolo Alfa è l'ascissa del punto P associato all'angolo Alfa, e cioè il segmento O-S
La tangente di tale angolo è il rapporto fra il seno e il coseno dell'angolo Alfa, quindi non serve cateto e ipotenusa per ottenerla.
Il raggio O-P è quindi l'ipotenusa del triangolo rettangolo O-P-S, che non c'entra niente con la tangente.
La tangente invece puo' essere raffigurata da un segmento verticale che partendo dal punto R salga in modo ortogonale al diametro fino ad incrociare, per es. in T il prolungamento, esterno alla circonferenza, del raggio O-P.
E' facile osservare che il triangolo rettangolo O-T-R è "simile" al triangolo O-P-S, per cui la tangente T-R sta al semidiametro O-R come il seno P-S sta al coseno O-S.
Ma questa premessa si vedeva bene nella figura che ho inserito nel mio ultimo allegato.

Se la circonferenza è di raggio Unitario, cioè = 1, chiedendo le varie funzioni si otterranno i valori che siamo soliti vedere per seno, coseno, tangente, ecc.
Per me è facile osservare che il raggio unitario è anche proprio l'ipotenusa del triangolo, e non dovrei essere io a dire come fare nel caso che seno, coseno, tangente, ecc. fossero diversi dai valori canonici di tali funzioni.

Riepilogando seno e coseno sono i 2 cateti, e il raggio è l'ipotenusa quando tale triangolo è iscritto in una circonferenza; e quando tale circonferenza ha come raggio 1, seno, coseno, tg ecc. hanno i valori che conosciamo.
Per conoscere seno, cos e altri è sufficiente l'angolo perchè si tratta di rapporti costanti, mentre per risolvere un qualsiasi triangolo rettangolo, oltre all'angolo è necessario conoscere almeno un altro elemento e dedurre in proporzione gli altri elementi, dal momento che si tratta di triangoli SIMILI.

Come nasce il risultato di una funzione goniometrica ?
In rete si trovano varie tabelle che riportano i valori di funzioni corrispondenti ai vari angoli, ma non potranno mai dire i valori dei milioni di sottoangoli possibili, e quindi NON è immaginabile che Excel contenga tabelle mostruose, bensì bisogna ipotizzare che contenga un certo numero di FORMULE che restituiscono i vari seno, coseno, tangente, ecc.
Queste formule (Analisi Matematica, Derivate, Limiti), tra cui spiccano quelle di Taylor, Mac Laurin, Peano, ecc. interpellano la CPU, e più precisamente la Unità Logico-Aritmetica (ALU), ottenendo i valori cui siamo abituati.
Penso che in un pc, e credo anche in una calcolatrice, non esista l'operazione seno, o coseno o tangente in modo assoluto, ma che questi vengano ricavati con le operazioni fondamentali del processore e co-processore, con l'aggiunta, via software, di altre funzioni superiori, es. appunto limiti, derivate ecc.
Questa è l'idea che io mi sono fatta per rispondere alla domanda iniziale.
E dopo questa sudata pazzesca spero di non aver detto troppe castronerie, ma nel caso.....abbiate la sensibilità di correggermi.
L'amico matematico ? è ovvio, parlare a voce è molto più facile.

LEO
[Modificato da L2018 03/03/2022 21:32]

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04/03/2022 07:17

Re: Calcolo Tangente
L2018, 03/03/2022 15:01:

Ricordo il quesito di partenza: come fanno le funzioni di excel a calcolare seno, coseno, tangente solo partendo da un angolo, senza il valore di cateti e ipotenusa? La stessa cosa dicasi per le calcolatrici scientifiche; scrivi i gradi di un angolo, premi il pulsante e arriva il risultato.

Ora che il quesito (per me) è più chiaro, posso tentare una risposta più adatta
ma a monte di questo che cosa è il seno ? e il coseno ?
Prendiamo una circonferenza goniometrica di centro O e diametro orizzontale passante per O (per es. D-O-R).
Nel quadrante superiore destro, dal centro O tracciamo un raggio O-P che intersecherà la circonferenza nel punto P e formerà col diametro un angolo Alfa in O.
dal punto P tracciamo un segmento verticale che intersecherà il diametro in modo ortogonale nel punto S

Il seno di tale angolo Alfa è l'ordinata del punto P associato all'angolo Alfa, e cioè il segmento P-S
Il coseno di tale angolo Alfa è l'ascissa del punto P associato all'angolo Alfa, e cioè il segmento O-S
La tangente di tale angolo è il rapporto fra il seno e il coseno dell'angolo Alfa, quindi non serve cateto e ipotenusa per ottenerla.
Il raggio O-P è quindi l'ipotenusa del triangolo rettangolo O-P-S, che non c'entra niente con la tangente.
La tangente invece puo' essere raffigurata da un segmento verticale che partendo dal punto R salga in modo ortogonale al diametro fino ad incrociare, per es. in T il prolungamento, esterno alla circonferenza, del raggio O-P.
E' facile osservare che il triangolo rettangolo O-T-R è "simile" al triangolo O-P-S, per cui la tangente T-R sta al semidiametro O-R come il seno P-S sta al coseno O-S.
Ma questa premessa si vedeva bene nella figura che ho inserito nel mio ultimo allegato.

Se la circonferenza è di raggio Unitario, cioè = 1, chiedendo le varie funzioni si otterranno i valori che siamo soliti vedere per seno, coseno, tangente, ecc.
Per me è facile osservare che il raggio unitario è anche proprio l'ipotenusa del triangolo, e non dovrei essere io a dire come fare nel caso che seno, coseno, tangente, ecc. fossero diversi dai valori canonici di tali funzioni.

Riepilogando seno e coseno sono i 2 cateti, e il raggio è l'ipotenusa quando tale triangolo è iscritto in una circonferenza; e quando tale circonferenza ha come raggio 1, seno, coseno, tg ecc. hanno i valori che conosciamo.
Per conoscere seno, cos e altri è sufficiente l'angolo perchè si tratta di rapporti costanti, mentre per risolvere un qualsiasi triangolo rettangolo, oltre all'angolo è necessario conoscere almeno un altro elemento e dedurre in proporzione gli altri elementi, dal momento che si tratta di triangoli SIMILI.

Come nasce il risultato di una funzione goniometrica ?
In rete si trovano varie tabelle che riportano i valori di funzioni corrispondenti ai vari angoli, ma non potranno mai dire i valori dei milioni di sottoangoli possibili, e quindi NON è immaginabile che Excel contenga tabelle mostruose, bensì bisogna ipotizzare che contenga un certo numero di FORMULE che restituiscono i vari seno, coseno, tangente, ecc.
Queste formule (Analisi Matematica, Derivate, Limiti), tra cui spiccano quelle di Taylor, Mac Laurin, Peano, ecc. interpellano la CPU, e più precisamente la Unità Logico-Aritmetica (ALU), ottenendo i valori cui siamo abituati.
Penso che in un pc, e credo anche in una calcolatrice, non esista l'operazione seno, o coseno o tangente in modo assoluto, ma che questi vengano ricavati con le operazioni fondamentali del processore e co-processore, con l'aggiunta, via software, di altre funzioni superiori, es. appunto limiti, derivate ecc.
Questa è l'idea che io mi sono fatta per rispondere alla domanda iniziale.
E dopo questa sudata pazzesca spero di non aver detto troppe castronerie, ma nel caso.....abbiate la sensibilità di correggermi.
L'amico matematico ? è ovvio, parlare a voce è molto più facile.

LEO




Quindi Leo, se ho capito bene, i risultati (seno, coseno, tangente) che danno sia le funzioni excel, sia le calcolatrici, sono già prestabilite in “tabelle” dove la circonferenza goniometrica di riferimento è = 1 e non frutto di calcoli tradizionali. Questo spiega il fatto che nelle guida alle funzioni di excel non sono riportati
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04/03/2022 11:18

ahi ahi Paolo, mi citi kilometricamente, ma io ho detto proprio il contrario, e cioè che siccome in una circonferenza non ci sono solo 360 gradi, ma infiniti gradi intermedi, CREDO, troverei strano che in Excel o in una calcolatrice ci fossero TABELLE con milioni di formule: es. sen(34°, 15', 44", 78 centesimi).
in giro si trovano molte tabelle con valori goniometrici, con i valori più usati, esempio:

tabella
http://matemalex.altervista.org/img/tavola%20gonio%200_45.gif


ma queste tabelle sono a mo' di esempio, mentre invece è sufficiente UNA sola formula per ricavare una FUNZIONE per qualsiasi angolo, es. per la tangente: non c'è scritto Tangente = Seno diviso Coseno, ma



come puoi vedere in questa immagine, nell'espressione, a destra non ci sono ALTRE FUNZIONI, ma solo operazioni aritmetiche

per cui io PENSO che le cose funzionino così, ma siccome non sono laureato in matematica o informatica, il mio è solo pensiero

LEO

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Re:
L2018, 04/03/2022 11:18:

ahi ahi Paolo, mi citi kilometricamente, ma io ho detto proprio il contrario, e cioè che siccome in una circonferenza non ci sono solo 360 gradi, ma infiniti gradi intermedi, CREDO, troverei strano che in Excel o in una calcolatrice ci fossero TABELLE con milioni di formule: es. sen(34°, 15', 44", 78 centesimi).
in giro si trovano molte tabelle con valori goniometrici, con i valori più usati, esempio:

tabella
http://matemalex.altervista.org/img/tavola%20gonio%200_45.gif


ma queste tabelle sono a mo' di esempio, mentre invece è sufficiente UNA sola formula per ricavare una FUNZIONE per qualsiasi angolo, es. per la tangente: non c'è scritto Tangente = Seno diviso Coseno, ma



come puoi vedere in questa immagine, nell'espressione, a destra non ci sono ALTRE FUNZIONI, ma solo operazioni aritmetiche

per cui io PENSO che le cose funzionino così, ma siccome non sono laureato in matematica o informatica, il mio è solo pensiero

LEO




Grazie Leo della spiegazione. Purtroppo di espressioni matematiche non ci capisco nulla, ho fatto la terza media 45 anni fa…
Noto una cosa: partendo dal presupposto che seno e coseno sono in relazione, la loro somma dovrebbe essere uguale con qualsiasi angolo, invece non è così. Vedi il file allegato.
Per i rilievi topografici tramite calcoli trigonometrici, (è quello di cui ho bisogno) mi affiderò ad una tecnica vecchia ma semplice…

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04/03/2022 19:00

ciao

Seno e coseno SONO in relazione, ma NON nel senso che hai detto tu, la relazione fra loro è

sen2 α + cos2 α = 1

cioè con qualunque angolo è la somma dei loro quadati ad essere sempre uguale ad 1.
-------------
Perchè scrivi 3,142 e non PI.GRECO() ?

-------------
quale sarebbe il tuo metodo semplice di rilievo topografico ?

---------------
un sito dove imparare in modo semplice molte cose:

https://www.lezionidimatematica.net/indici/indice_trigonometria.htm

LEO

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05/03/2022 10:52

Ciao Leo, il metodo per stimare le distanze è quello messo in figura nell’ultimo mio post, tratto da un manuale degli scout
Lo metto in allegato.
Il PI.GRECO un errore di battitura
Grazie per il sito che guarderò con calma
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